3. Neurología Cuántica: Algo más sobre Mecánica Cuántica

 

  

 

Algo más sobre Mecánica Cuántica.

Para comprender mejor el principio de incertidumbre de Heisenberg se podría entrar algo más en el concepto de observables compatibles y de observables incompatibles.

Supongamos que medimos la posición de una partícula (cuántica) y luego su momento lineal, midiendo con posterioridad de nuevo su posición. Lo más probable es que la medición de la segunda posición sea bastante diferente de la primera, porque la medición del momento lineal pone a la partícula en un estado propio (autoestado) del momento lineal (operador). Por lo tanto, decimos que la posición y el momento lineal son observables incompatibles (hay una determinada incertidumbre, no nula, en la predicción del resultado).

 

En los sistemas gobernados por la mecánica clásica, cualquier valor que se puede observar experimentalmente está relacionado con una función matemática de variables reales cuyo resultado nos ofrece el conjunto de estados posibles del sistema.

En mecánica cuántica, en cambio, la relación entre los estados de un sistema y los valores de un observable es más sutil, y precisa de algo de álgebra para su explicación.

En la formulación matemática de la mecánica cuántica los estados son vectores (no nulos) en un espacio (de Hilbert) (en el que se considera que dos vectores especifican el mismo estado si y solo si son múltiplos escalares entre sí). Matemáticamente los observables en mecánica cuántica se representan por operadores lineales autoadjuntos (o hermíticos) en el espacio de Hilbert (con una serie de vectores propios o autovectores). Estos operadores se corresponden con el observable, siendo sus valores propios o autovalores, los que forman el espectro de valores posibles de una medición del observable.

 

Como ejemplo de observables compatibles podríamos tener el momento lineal y la energía cinética: medir una de estas cantidades no tendrá efecto en las mediciones posteriores del otro. En general, dos observables son compatibles si puedes medir uno, luego mides el otro, y finalmente mides el primero nuevamente, teniendo la garantía de obtener el mismo resultado en la medida final que obtuvimos en la primera. En este caso hay una plena certeza en la predicción del resultado (incertidumbre nula).

Matemáticamente, hay dos formas de caracterizar dos observables A y B como compatibles (o incompatibles). Primero, podemos preguntar si los operadores para los dos observables poseen una base propia común (es decir, un conjunto común de autovectores que forman una base completa, aunque cada observable tenga distintos autovalores). En segundo lugar, podemos preguntarnos si los operadores conmutan entre sí. Teniendo que las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

1. A y B son observables compatibles.

2. Los operadores A y B poseen una base propia común.

3. Los operadores A y B conmutan.

Cuando dos observables son incompatibles, aún podríamos preguntarnos en qué medida (cuánto) uno de ellos afecta a la medición del otro. Después de todo, en el límite clásico no existe tal incompatibilidad: las medidas no afectan el estado del sistema en absoluto.

Sin embargo, para cuantificar el grado de incompatibilidad, es útil reformular la pregunta. En lugar de considerar una sucesión de medidas (A luego B luego A otra vez), preguntemos si podemos encontrar al menos algunos estados para el que las medidas de A y B se presentan con la mínima incertidumbre. Concretamente, podríamos imaginar un gran número de sistemas idénticos en el mismo estado, luego midiendo A para la mitad de estos sistemas y B para la otra mitad.

Cada conjunto de medidas tendrá algún valor promedio (valor medio), <A> o <B>, y también tendrá cierta cantidad de margen sobre el promedio, que puede caracterizar por la desviación estándar, σ_A o σ_B. Decimos que una cantidad está aproximadamente bien definida si su desviación estándar es pequeña.

En general, no hay límite en lo pequeño que podemos hacer σ_A o σ_B: cualquiera podría ser cero, si el estado en cuestión es un estado propio de ese observable. Lo mismo si A y B son compatibles, entonces podemos encontrar estados propios simultáneos para los cuales tanto σ_A como σ_B son cero. Pero cuando A y B son incompatibles, generalmente hay un límite sobre cuánto (de pequeño) podemos hacer simultáneamente σ_A y σ_B.

 

Siendo la formulación más general del principio de incertidumbre de Heisenberg:

σ_A σ_B ≥ |1/(2i) <[A, B]>|

 

Para la posición x y el momento p_x se tiene que su conmutador es: [x, p_x] = iℏ con lo que se llega a la conocida (y sencilla) expresión:

σ_x σ_Px ≥ ℏ/2

 

 

Para la posición y el momento lineal se tiene:

∆x ∆Px ≥ ℏ/2

Siendo ℏ la constante de Planck, ∆x la indeterminación de la posición (componente x del vector de posición) y ∆P_x la indeterminación del momento (componente x del vector momento lineal)

En cada espacio de Hilbert podemos definir una base ortonormal | i > de forma que < i | j > = δ_ij, usando la delta de Kronecker o de Dirac dependiendo del caso discreto o continuo.

Con esta base podemos definir la relación de completitud o de cierre de Hilbert usando la descomposición de la identidad (operador identidad I):

Teniendo que cualquier vector arbitrario |v >  del espacio pueda desarrollarse en esa base (que es un conjunto completo de autovectores):

Si A y B son dos operadores autoadjuntos que poseen un conjunto completo de autovectores y que conmutan (es decir [A,B] = AB - BA = 0), existe un conjunto completo de autovectores de ambos.

 

Cohen-Tannoudji, C. Diu, B. Laloë, F. Quantum Mechanics. Vol I, II & III. 2 ed. Wiley-WCH. Ger. 2019.